問題
半径 \(a \: (>0)\) のブラシで領域 \(y \geq x^2\) をすべて塗りつぶすための \(a\) の条件を求めよ．
解答
放物線 \(y = x^2\) 上の点 \(\rm{T}\) \( (t,t^2)\) で接する半径 \(a\) の円のうち，円の中心 \(\rm{O}_1\) が \(t\) より大きいものを円 \(C\) とする．円 \(C\) が点 \(\rm{T}\) 以外で放物線と交点を持たないとき，半径 \(a\) 以下の円は円 \(C\) 内をすべて塗りつぶせることは自明である．すべての \(t\) でそのような円の内部を塗りつぶすことで領域 \(y \geq x^2\) はすべて塗りつぶせることになる．よって，任意の \(t\) に対して「円 \(C\) が点 \(\rm{T}\) 以外で放物線と共有点を持たない」条件を調べる．
放物線 \(y = x^2\) は \(x\) 軸に対して対称であるため， \(\rm{O}_1\) の \(x\) 座標が点 \(\rm{T}\)の \(x\) 座標と異符号ならば円 \(C\) は放物線と交点を持ってしまう．また， \(\rm{O}_1\) が \(x\) 軸にあるならば，点 \(\rm{T}\) の \(x\) 軸対称の点でもう一つの接点を持つ．二つの接点以外に共有点がないことは，円と放物線の共有点を求める方程式の次数が高々4であることから分かる(接点は重解となる)．さらに， \(\rm{O}_1\) の \(x\) 座標が点 \(\rm{T}\) の \(x\) 座標と同符号である円は，先に考えた， \(\rm{O}_1\) が \(x\) 軸にある円に完全に含まれるため点 \(\rm{T}\) 以外に共有点を持たない．以上より，「円 \(C\) が点 \(\rm{T}\) 以外で放物線と共有点を持たない半径 \(a\) 」の条件は，\(\rm{O}_1\) が \(x\) 軸にあるかそれより点 \(\rm{T}\) に近いときのすべての \(t\) における \(a\) の範囲の共通部分である．
\(\rm{O}_1\) は点 \(\rm{T}\) における法線ベクトル \(\vec{n} = (\frac{-2t}{\sqrt{1+4t^2}},\frac{1}{\sqrt{1+4t^2}})\) を用いて，\(\rm{O}_1 (t-\frac{2at}{\sqrt{1+4t^2}},t^2+\frac{a}{\sqrt{1+4t^2}})\) と表される． \(\rm{O}_1\) が \(x\) 軸にあるかそれより点 \(\rm{T}\) に近いときは，\((t-\frac{2at}{\sqrt{1+4t^2}})\times t \geq 0\) であるため，これを解くと，\(a \leq \frac{\sqrt{1+4t^2}}{2}\)となり，任意の \(t\) での \(a\) の共通部分と問の条件から，答えは \(0 < a \leq 1/2\) である．
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